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Esse tal de número primo


Nilton Cezar Ferreira*

Quando alguém fala em número primo, nos vem à mente nossa professora primária dizendo: "Número primo é todo número que só é divisível por 1 e por ele mesmo." Em seguida tentamos catalogar uma seqüência de números primos em ordem crescente. Surgem porém as primeiras dúvidas - o número 1 é primo? e o 2? Mas 2 é par! Pode um número par ser primo? - Os mais cuidadosos começam a desconfiar dessa perdulária definição. Consultando um texto mais formal, não demoramos a constatar que esse tal de número primo não é uma coisa tão elementar quanto parece, ele está muito envolvido com a teoria da divisibilidade, que o deixa numa situação bem desconfortável.

"Seja n um número natural diferente de 1, dizemos que n é um número primo se os únicos divisores de n são 1 e n". Acreditando piamente nessa definição, podemos, além de responder às perguntas anteriores, listar alguns números primos em ordem crescente:

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43...

Opa! o dois é primo. Será que o 2 é o único número par primo? Se crermos que todo número par é divisível por 2, essa afirmação é verdadeira. Mas nem todo número ímpar é primo, podemos citar vários ímpares não primos: 9,15,21,25,27,33,...

Muitos matemáticos se deram ao luxo (ou trabalho?) de brincar com os números primos. Uns obtiveram sucesso, descobriram muitas coisas interessantes e outros ficaram frustrados. Teve aqueles que para aliviar um pouco a frustração (ou por outro motivo que desconheço) resolveu inventar algumas classificações: O 2 e 3 passaram a ser chamado de "primos gêmeos", porque não existe nenhum número natural entre eles; Os primos consecutivos, que possuem apenas um natural entre eles, foram chamados de "primos irmãos". São primos irmãos: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43 etc.

Não é difícil perceber que os números primos são bem desorganizados, o 2 e 3 são primos consecutivos, 5 e 7 tem um numero não primo entre eles, existem três números não primos entre 7 e 11, entre 11 e 13 volta a ter apenas um número não primo entre eles. O mais surpreendente é que podemos conseguir uma seqüência bem grande de números consecutivos e todos não primos. Por exemplo:

Sabe-se que , logo 100! + 2 não é primo, pois é divisível por 2. Difícil ver?

100! + 2 = + 2 = 2 ( +1) (fizemos o que o usualmente é conhecido como "colocar o 2 em evidência").

Usando esse argumento, temos,

100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, ..., 100! + 100 uma seqüência com 99 números consecutivos e nenhum deles primo. Espantoso? o mais espantoso é que você pode escolher qualquer número, não apenas o 100, por exemplo, de 15652! + 2 a 15652! + 15652 temos exatamente 15651 números consecutivos e nenhum primo. Quem gosta de generalizar pode escrever de n! + 2 à n! + n (n 3) tem-se n - 1 números consecutivos não primos. Daí, quanto maior o valor de n, maior a seqüência de números consecutivos, não primos, podemos formar. - Está pensando o mesmo que eu? Os números vão crescendo e os primos vão sumindo? Ah, deve se chegar a um número onde a partir dele não se tem mais primos. FALSO! Os primos não acabam, Euler provou que existem infinitos números primos, veja a demonstração no livro do Hygino (Fundamentos de Aritmética).

Por algumas centenas de anos, muitos matemáticos e curiosos, vêm numa busca incansável de uma fórmula que possa gerar números primos. Infelizmente (ou felizmente?), até o momento esse problema ainda está em aberto, só que a procura de números primos, que era uma mera curiosidade passou a ser importante, por suas aplicações.

Em alguns sistemas criptográficos de chave pública, como RSA, que é bastante usado para garantir a autenticidade das informações (assinatura digital), o número primo é protagonista, pois o seu papel é garantir a segurança do sistema, ou seja, quanto maior os números primos usados, maior é a segurança do sistema.

Tem até prêmio em dinheiro para quem encontrar um número primo grande. Isso mesmo, Prêmio em dinheiro! A empresa Electronic Frontier Fundation oferece 100 mil dólares a quem descobrir o primeiro primo com mais de 10 milhões de algarismos. Não fique muito animadinho, pois o maior primo encontrado até agora (primo da forma 2 - 1 com n primo, denominado primo de Mersenne), é 2 - 1 e não possui nem 5 milhões de algarismo, além disso foram necessários 210 mil microcomputadores com processadores equivalentes ao AMD de 800 MHz. Esse número foi encontrado num projeto denominado Gimps (Great Internet Mersenne Prime), elaborado pelo canadense Michael Cameron. O Gimps se baseia num software, criado pela empresa Entropia, que divide a tarefa em milhares de micros computadores ligados à internet. Se você tem um micro computador e quer participar da brincadeira é só baixar o software no site www.uol.com.br/info/aberto/download/2090.shl

Primos da forma 2 - 1, com n primo (primos de Mersenne), têm sido estudados há séculos. Sabe-se que 2 - 1 é primo se n for primo, mas a recíproca nem sempre é verdadeira, isto é, não basta que n seja primo para que 2 - 1 também seja. Por exemplo: 2 - 1 = 2047 = , logo 2 - 1 não é primo.

O estudo dos números perfeitos influenciaram o estudo dos primos de Mersenne. Um número perfeito é um natural que é igual a soma dos seus divisores próprios. Exemplos: O 6 é perfeito pois 6 = 1 + 2 + 3 (1, 2 e 3 são seus divisores próprios), 28 é perfeito, pois 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Os números perfeitos pares são precisamente da forma , onde 2 - 1 é primo (um primo de Mersenne).

Se você sentiu alguma atração forte por esse tal de número primo, aproxime-se dele, leia "os primos de Mersenne (e outros primos grandes)" de Carlos Gustavo e Nicolau Saldanha, Editora Impa, 1999. Você também pode encontrar muita coisa interessante em "Fundamentos de Aritmética" de Hygino H. Domingues, Editora Atual, 1991.


*Nilton Cezar Ferreira é bacharel e Matemática pela Universidade Federal de Goiás, mestre em Matemática pela UFG (tese em Criptografia) e professor assistente do Departamento de Matemática e Física da Universidade Católica de Goiás

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